https://drive.google.com/file/d/1CGRqN6nMxSGdYLElnVO4G3yKdsgFmXU_/view?usp=sharing
SECTION- A
Q.1 क्षैतिज अवस्था में रखे हुए एक िख्ते (plank) में एक तिद्र हैतजसकी तिज्या r है | िख्ते के इस तिद्र पर एक R (R > r) तिज्या वाले फु टबॉल को रखा गया है| जैसा तक नीचे तचि में तिखाया गया है, इस िख्ते को अब एक िोर से ऊपर उठाया जािा है तजससे तक यह उन्नि हो कर तक्षतिज से θ का कोण बनािा है | θ का अतिकिम मान जब िक तक फु टबॉल िख्ते पर लोटना प्रारंभ नहीं करिी है, इस िरह है तक [तचि प्रिीकात्मक (schematic) हैं िथा माप के अनुसार नहीं है ]
(A) sin𝜃 = 𝑟/𝑅
(B) tan𝜃 = 𝑟/𝑅
(C) sin𝜃 = 𝑟/2𝑅
(D) cos𝜃 = 𝑟/2𝑅
Q.2 एलुतमतनयम (एक अचुम्बकीय पिाथथ) से बनी एक हल्की चतिका (disc) क्षैतिज अवस्था में रखी है एवं यह अपने अक्ष (axis) के पररिः घूणथन करने के तलए स्विंि है, जैसा तक नीचे तचि में तिखाया गया है | यति एक प्रबल चुम्बक को चतिका से थोड़ा ऊपर, उसके अक्ष से िू र एक तबंिु पर ऊर्ध्ाथिर अवस्था में रखिे हुए चतिका के अक्ष के पररिः पररिमण (revolve) कराया जाय िब चतिका [तचि प्रिीकात्मक (schematic) हैं िथा माप के अनुसार नहीं है ]
(A) चुम्बक की गति की तिशा के तवपरीि तिशा में घूणथन करेगी |
(B) चुम्बक की गति की तिशा में घूणथन करेगी |
(C) घूणथन नहीं करेगी एवं इसका िापमान अपररवतिथि रहेगा |
(D) घूणथन नहीं करेगी परन्तु इसका िापमान िीरे िीरे बढ़ने लगेगा |
Q.3 20 𝑐𝑚 व्यास वाले एक िोटे बेलन (𝑟𝑜𝑙𝑙𝑒𝑟) की िुरी (𝑎𝑥𝑙𝑒) का व्यास 10 𝑐𝑚 है (नीचे तिखाए गए बाएं तचि को िेखें ) | यह एक क्षैतिज िल पर रखा हुआ है | एक क्षैतिज मीटर स्के ल का एक िोर इसकी िुरी के ऊपर रखा हुआ है (नीचे तिखाए गए िाएं तचि को िेखें ) | इस स्के ल को अब िीरे-िीरे िुरी पर इस प्रकार िके ला जािा है तक स्के ल िुरी पर तबना तफसले चलिा है, एवं बेलन तबना तफसले लोटन करना आरम्भ करिा है | बेलन के 50 𝑐𝑚 आगे बढ़ चुकने के पश्चाि, स्के ल की स्स्थति तनम्न में से तकस िरह तिखाई िेगी (तचि प्रिीकात्मक (𝑠𝑐ℎ𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐) हैं िथा माप के अनुसार नहीं है )
(A) x = 0 x = 50 cm
(B) x = 0 x = 75 cm
(C) x = 0 x = 25 cm
(D) x = 0 x = 100 cm
Q.4 एक वृत्ताकार कु ण्डली, तजसकी तिज्या 𝑅 एवं फे रों की संख्या 𝑁 है, का प्रतिरोि (resistance) नगण्य है | जैसा की तचि में िशाथया गया है, इसके िो िोर िो िारों से जुड़े हुए हैं, िथा यह उन िारों के द्वारा इस प्रकार लटकी हुई है तक इसका िल ऊर्ध्ाथिर (vertical) है | िोनों िार एक संिाररि (capacitor), तजस पर आवेश 𝑄 है, से एक स्स्वच के द्वारा जुड़े हुए हैं | यह कु ण्डली एक एकसमान क्षैतिज चुम्बकीय क्षेि, जो तक कु ण्डली के िल के समांिर है िथा तजसकी िीव्रिा 𝐵𝑜 है, में स्स्थि है | जब स्स्वच को बंि करिे हैं िो संिाररि कु ण्डली के माध्यम से अति अल्प समय में ही अनावेतशि हो जािा है | तजिने समय में यह संिाररि पूरी िरह से अनावेतशि हो जािा है, उिने समय में कु ण्डली द्वारा प्राप्त कोणीय संवेग (angular momentum) का मान तनम्न में से कौन सा होगा (यह मातनए तक अनावेश समय इिना लघु है तक कु ण्डली इस समय में नाममाि ही घूम पािी है)
(A) 𝜋/2𝑁𝑄𝐵𝑜𝑅2
(B) 𝜋𝑁𝑄𝐵𝑜𝑅2
(C) 2𝜋𝑁𝑄𝐵𝑜𝑅2
(D) 4𝜋𝑁𝑄𝐵𝑜𝑅2
Q.5 प्रकाश का एक समांिर तकरण पुंज कााँच के एक पारिशी टुकड़े, तजसकी अनुप्रस्थ काट नीचे तिए तचिानुसार है, पर आपतिि होिा है | िब तनगथि िरंगाग्र (emergent wavefront) की सही आकृ ति इस प्रकार होगी [तचि प्रिीकात्मक (schematic) हैं िथा माप के अनुसार नहीं है; Air: हवा; Light: प्रकाश; Glass: कााँच]
Q.6 एकसमान अनुप्रस्थ काट के क्षेिफल वाली U −नली, तजसके िोनों तसरे खुले हुए हैं, में जल भरा है | जल का घनत्व 103 kg m−3 है | आरम्भ में U −नली की िोनों भुजाओं में जल स्तम्भ की ऊं चाई, नली की पेंिी के सापेक्ष 0.29 m है | U −नली की बाईं भुजा में तकरोतसन िेल िब िक डाला जािा है जब िक इसकी ऊ ं चाई 0.1 m न हो जाये, जैसा की तचि में िशाथया गया है | तकरोतसन िेल एक जल में अघुलनशील द्रव है िथा इसका घनत्व 800 kg m−3 है | नली की िोनों भुजाओं में द्रव स्तंभों की ऊं चाई का अनुपाि (ℎ1/ℎ2) ____________ है |
(A) 15/14
(B) 35/33
(C) 7/6
(D) 5/4
Q.7 द्रव्यमान 𝑚 के एक कण की स्स्थतिज ऊजाथ(potential energy) 𝑉(𝑟) = 𝐹𝑟 है िथा यह वृत्ताकार कक्षाओं में घूमिा है | यहााँ 𝐹 एक िनात्मक तनयिांक है, िथा कण की मूल-तबंिु से िू री 𝑟 है | कण की ऊजाथओं की गणना बोहर मॉडल (Bohr′s Model)के द्वारा की जािी है | यति कण की कक्षा की तिज्या 𝑅, िथा इसकी गति एवं ऊजाथ िमशः , v एवं 𝐸 हैं, िब 𝑛वीं कक्षा के तलए (यहााँ ℎ प्ांक तनयिांक है )
(A) 𝑅 ∝ 𝑛1⁄3 and v ∝ 𝑛2⁄3
(B) 𝑅 ∝ 𝑛2⁄3 and v ∝ 𝑛1⁄3
(C) 𝐸 = 3/2 (n2h2F2/4𝜋2m)1⁄3
(D) 𝐸 = 2 (n2h2F2/4𝜋2m)1⁄3
Q.8 एक प्रकाशीय बल्ब के िंिु (filament) का पृष्ठीय क्षेिफल 64 mm2 है | इस िंिु को 2500 K िापमान वाली एक कृ स्िका (black body) के िरह मान सकिे हैं जो तक िू र से िेखने पर एक तबंिु स्रोि की भांति तवतकरण उत्सतजथि करिा है| इस प्रकाशीय बल्ब को राति में100 m की िू री से िेखा जािा है | मान लीतजये तक प्रेक्षक की आाँखों की पुिली वृत्ताकार है एवं इसकी तिज्या 3 mm है | िब (स्टीफन-बोल्त्ज्मान तनयिांक = 5.67 × 10−8 Wm−2K−4, वीन का तवस्थापन तनयिांक = 2.90 × 10−3 m-K, प्ांक तनयिांक = 6.63 × 10−34 Js, तनवाथि में प्रकाश की गति c = 3.00 × 108 ms−1 लीतजए)
(A) िंिु द्वारा तवतकररि शस्ि का मान 642 𝑊 से 645 𝑊 के अंिराल मेंहै |
(B) प्रेक्षक की एक आाँख में प्रवेश करनेवाली तवतकररि शस्ि का मान 3.15 × 10−8 W to 3.25 × 10−8 W के अंिराल मेंहै |
(C) िरंग िैध्यथ, तजसके तलए प्रकाश की िीव्रिा सवाथतिक होगी, 1160 𝑛𝑚 है |
(D) उत्सतजथि तवतकरण की औसि िरंग िैध्यथका मान 1740 𝑛𝑚 लेने पर, प्रेक्षक की एक आाँख में प्रति सेके ण्ड प्रवेश करने वाले फोटानों की कु ल संख्या 2.75 × 1011 to 2.85 × 1011 के अंिराल मेंहै |
Q.9 कभी कभी मािकों की एक ऐसी प्रणाली को बनाना सुतविाजनक होिा है, तजसमें सभी रातशयों को के वल एक भौतिक रातश के रूप में व्यि तकया जा सके | ऐसी ही एक प्रणाली में अलग अलग रातशयों की तवमाओं को एक रातश 𝑋 के रूप में इस प्रकार से व्यि करिे हैंतक: [स्स्थति ] = [𝑋𝛼]; [चाल ] = [𝑋𝛽]; [त्वरण ] = [𝑋𝑝]; [रेखीय संवेग ] = [𝑋𝑞]; [बल ] = [𝑋𝑟] | िब
(A) 𝛼 + 𝑝 = 2𝛽
(B) 𝑝 + 𝑞 − 𝑟 = 𝛽
(C) 𝑝 − 𝑞 + 𝑟 = 𝛼
(D) 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 = 𝛽
Q.10 तकसी क्षेि में एकसमान तवि् युि क्षेि, 𝐸⃗ = −400√3ŷ NC−1 लगाया गया है | द्रव्यमान 𝑚 के एक िनावेतशि
कण को, तजस पर आवेश 𝑞 है, इस क्षेि में 2√10 × 106 ms−1 की आरंतभक गति से प्रक्षेतपि तकया जािा है| इस कण को प्रक्षेतपि करने का उद्द्येश्य, क्षेि में प्रवेश तबंिु से5 m की क्षैतिज िू री पर रखे लक्ष्य T को भेिना है, जैसा तक तचि में प्रिीकात्मक (schematic) रूप से िशाथया गया है | यति q/m = 1010 Ckg−1, िो
(A) यह कण यति क्षैतिज से 45o के कोण पर प्रक्षेतपि तकया जाएगा िो लक्ष्य का भेिन कर पायेगा |
(B) यह कण यति क्षैतिज से 30o अथवा 60o के कोण पर प्रक्षेतपि तकया जाएगा िो लक्ष्य का भेिन कर
पायेगा |
(C) लक्ष्य को भेिने में इस कण द्वारा तलये गये संभातवि समय √5/6 μs एवं √5/2 μs हो सकिे हैं |
(D) लक्ष्य को भेिने में इस कण को √5/3 μs का समय लगेगा |
Q.11 तचि में िशाथयी गयी एक अिथवृत्ताकार िास्त्वक पट्टी की मोटाई 𝑡, प्रतिरोिकिा (resistivity) 𝜌, आिंररक तिज्या
𝑅1 एवं बाह्य तिज्या 𝑅2 है | इस पट्टी के िोनों तसरों के मध्य तवभवान्तर 𝑉0 होने पर इसमें प्रवातहि तवि् युि् िारा 𝐼 है | इसके अतिररि, यह िेखा जािा है तक पट्टी के आिंररक एवं बाह्य पृष्ठ के मध्य एक अनुप्रस्थ (transverse) तवभवान्तर ∆𝑉 है, जो तवशुद्ध रूप से गतिमान इलेक्ट्र ानों के गतिज प्रभावों (kinetic effects) के कारण उत्पन्न होिा है (तवि् युि् िारा से उत्पन्न चुम्बकीय क्षेि की भूतमका नगण्य मानें ) | िि् नुसार [तचि प्रिीकात्मक (schematic) हैं िथा माप के अनुसार नहीं है]
(A) 𝐼 = 𝑉𝑜𝑡/𝜋𝜌 ln (𝑅2/𝑅2)
(B) बाह्य पृष्ठ का तवभव आिंररक पृष्ठ की िुलना में अतिक है |
(C) बाह्य पृष्ठ का तवभव आिंररक पृष्ठ की िुलना में कम है |
(D) ∆𝑉 ∝ 𝐼2
Q.12 प्रिीकात्मक तचिानुसार, िो पािों में पोटेतशयम परमैंगनेट (KMnO4) के जलीय तवतलयन िापमान 𝑇 पर रखे हुये हैं | पािों में इन घोलों की सांद्रिाएाँ िमशः 𝑛1 िथा 𝑛2 (𝑛1 > 𝑛2) अणु प्रति एकक आयिन हैं, जहां ∆𝑛 = (𝑛1 − 𝑛2) ≪ 𝑛1 है | िोनों पािों को एक िोटी नतलका के द्वारा जोड़े जाने पर KMnO4 बाएं पाि से िाएं पाि में इस नतलका के द्वारा तवसरण (diffusion) करना आरम्भ करिा है | िोटी नतलका की लम्बाई 𝑙 िथा अनुप्रस्थ काट का क्षेिफल 𝑆 है | पररकल्पना कररए तक अणुओं का यह समूह िनु आिशथ गैस के अनुरूप आचरण करिा है, िथा अणुओं का तवसरण िोनों पिों में उनके आंतशक िाब के अंिर के कारण होिा है | इन अणुओं की चाल 𝑣 प्रत्येक अणु पर लगे श्यानिा बल (viscous force) −𝛽𝑣 के द्वारा सीतमि होिी है, जहां 𝛽 एक तनयिांक है | (∆𝑛)2 वाले सभी पिों को नगण्य मानिे हुए, तनम्न में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)? ( 𝑘𝐵 बोल्त्ज्मान तनयिांक है)
(A) नतलका में अणुओं को िके लने हेिु बल ∆𝑛𝑘𝐵𝑇𝑆 है |
(B) बल संिुलन इंतगि करिा है तक 𝑛1𝛽𝑣𝑙 = ∆𝑛𝑘𝐵𝑇
(C) नतलका में से प्रति सेके ण्ड जाने वाले अणुओं की कु ल संख्या (∆𝑙𝑛) (𝑘𝛽 𝐵𝑇) 𝑆 है |
(D) नतलका द्वारा स्थानांिररि होने वाले अणुओं की िर समय के साथ पररवतिथि नहीं होिी है |
Q.13 आप अपने हाथों की पूणथिः खुली हुई िजथनी उंगतलयों पर एक मीटर लम्बे एकसमान पैमाने (scale) को क्षैतिज अवस्था में इस प्रकार रखें तक बाईं उंगली 0.00 cm पर िथा िायीं उंगली 90.00 cm पर हो | जब आप ऊं गतलयों को पैमाने के कें न्द्र की ओर िीरे-िीरे चलाकर लाने का प्रयत्न करिे हैं, िब आरम्भ में के वल बाईं ऊं गली ही पैमाने के सापेक्ष तफसलिी है िथा िायीं ऊं गली नहीं चलिी है | कु ि िू री चलने के बाि बाईं ऊ ं गली रुक जािी है िथा अब िायीं ऊं गली तफसलना आरम्भ करिी है | पैमाने के कें द्र (50.00 cm) से 𝑥𝑅 िू री पर आ कर िायीं ऊ ं गली रुक जािी है िथा बाईं ऊ ं गली पुनः तफसलना आरम्भ करिी है | ऐसा िोनों ऊं गतलयों पर लगने वाले घर्थण बलों के अंिर के कारण होिा है | यति उाँगतलयों िथा पैमाने के बीच के स्थैतिक घर्थण गुणांक का मान 0.40 िथा गतिज घर्थण गुणांक का मान 0.32 हो िो, cm में 𝑥𝑅 का मान ___________________ होगा |
Q.14 यति एक तगलास में साविानी पूवथक जल भरा जाय िो जल के पृष्ठ िनाव के कारण इसे तगलास के तकनारों से ऊपर ℎ ऊाँ चाई िक भरा जा सकिा है | इस ऊाँ चाई की गणना करने के तलए हम पररकल्पना करिे हैं तक तगलास से जल के अतिप्रवाह (flow) से पूवथ, तगलास के तकनारों से ऊपर का जल, प्रिीकात्मक तचिानुसार, ℎ मोटाई की एक चतिका (disk) के आकार में है, तजसके तकनारे अिथ वृत्ताकार हैं | जब जल का िबाव इस चतिका के तनचले भाग पर इिना हो जािा है तक पृष्ठ िनाव के कारण उत्पन्न बल इससे कम हो जाय िो तगलास के तकनारों के तनकट जल का पृष्ठ टू ट जािा है िथा यहााँ से जल बहने लगिा है | यति जल का घनत्व, जल का पृष्ठ-िनाव िथा गुरुत्वीय त्वरण का मान िमशः 103 kg m−3, 0.07 Nm−1 िथा 10 ms−2 हो, िो का ℎ मान mm में ____________________ होगा |
Q.15 उपेक्षणीय अिातनि (unstretched) लम्बाई की एक कमानी (spring), तजसका कमानी-तनयिांक 𝑘 है, का एक तसरा मूल-तबंिु (0,0) से सम्बद्ध (fixed) है | एक तबंिु-कण, तजसका द्रव्यमान 𝑚 िथा िनात्मक वैि् युि आवेश 𝑞 है, कमानी के िू सरे तसरे से सम्बद्ध है | यह तनकाय एक तचकने क्षैतिज िल पर रखा गया है | यति आवेश q की ओर तनतिथष्ट, एक तबंिु-तद्वध्रुव (point dipole) 𝑝 को मूल-तबंिु पर सम्बद्ध तकया जाय, िो स्खंचाव के कारण तनकाय की नई साम्यावस्था में कमानी की लम्बाई 𝑙 हो जािी है (नीचे तचि िेखें ) | अब यति तबंिु- कण को साम्यावस्था से ∆𝑙 (∆𝑙 ≪ 𝑙) तवस्थातपि करके मुि तकया जाय िब यह 1 𝛿 √𝑚 𝑘 की आवृतत्त से िोलन करिा है | 𝛿 का मान ____________________ है |
Q.16 एक पाि में पररबद्ध एक मोल हीतलयम गैस का आरंतभक िाब 𝑃1 एवं आयिन 𝑉1 है | यह समिापीय (isothermal) प्रसरण करिी है, तजससे की इसका आयिन 4𝑉1 हो जािा है | इसके पश्चाि, गैस का रुद्धोष्म (adiabatic) प्रसरण होिा है िथा इसका आयिन 32𝑉1 हो जािा है | समिापीय एवं रुद्धोष्म प्रसरण के समय गैस द्वारा तकये गए कायथ िमशः 𝑊𝑖𝑠𝑜 िथा 𝑊𝑎𝑑𝑖𝑎 हैं | यति अनुपाि 𝑊𝑖𝑠𝑜 𝑊𝑎𝑑𝑖𝑎 = 𝑓 ln2 है, िो 𝑓 का मान ___________________ है |
Q.17 एक स्स्थर स्वररि तद्वभुज (tunning fork), एक नतलका (pipe) के वायु कॉलम के साथ अनुनाि (resonance) की अवस्था में है | अब यह स्वररि तद्वभुज, नतलका के खुले िोर के सामने एवं इसकी समांिर तिशा में 2 ms−1 गति से चलाया जािा है | इस स्स्थति में गतिमान स्वररि तद्वभुज के साथ अनुनािी होने के तलए नतलका की लम्बाई में पररविथन करना पड़ेगा | यति वायु में र्ध्तन की चाल 320 m s−1 है, िब नतलका की लम्बाई में होने वाला प्रतिशि पररविथन का न्यूनिम मान ______________ है |
Q.18 एक वृत्ताकार चतिका (disc), तजसकी तिज्या 𝑅 है, पर पृष्ठीय आवेश घनत्व 𝜎(𝑟) = 𝜎𝑜 (1 − 𝑅 𝑟) है, जहां 𝜎𝑜 एक स्स्थरांक है एवं 𝑟 चतिका के कें द्र से िू री है | एक बड़े गोलीय पृष्ठ, जो इस आवेतशि चतिका को पूरी िरह से पररबद्ध (enclose) करिा है, से गुजरने वाला वैि् युि फ्लक्स 𝜙𝑜 है | एक अन्य गोलीय पृष्ठ, जो चतिका के साथ संकें तद्रि है एवं तजसकी तिज्या 𝑅4 है, से गुजरने वाला वैि् युि फ्लक्स 𝜙 है | िब अनुपाि 𝜙𝑜 𝜙 का मान ____________________ है |
SECTION- B
Q.1 यदि दिसी गैस िे अणुओं िी गदिय ं िा दििरण नीचे दिये दचत्र िे अनुसार ह , ि अणुओं िे अदि-संभाव्य (प्रादयििम, most probable,), औसि (average), िथा िगग माध्य मूल (root mean square) गदिय ं िा अनुपाि, क्रमशः है (दचत्र में Fraction of molecules: अणुओं िा अंश, िथा speed: गदि),
(A) 1 : 1 : 1
(B) 1 : 1 : 1.224
(C) 1 : 1.128 : 1.224
(D) 1 : 1.128 : 1
Q.2 दनम्नदलखिि में से िौन, जल-अपघटन (hydrolysis) पर O2 मुक्त िरिा है?
(A) Pb3O4
(B) KO2
(C) Na2O2
(D) Li2O2
Q.3 एि रंगहीन जलीय दिलयन में ि धािुओं X िथा Y िे नाइटरेट्स (nitrates) हैं| इसि जब NaCl िे जलीय दिलयन मेंदमलािे हैंि एि सफे ि अिक्षेप प्राप्त ह िा है| यह अिक्षेप गमग पानी में आंदशि रूप से घुल िर एि अिदशस्ट (residue) P एिं एि दिलयन Q िेिा है| अिदशस्ट P, जलीय अम दनया (aq. NH3) मेंऔर स दियम थाय सल्फे ट (sodium thiosulphate) िे आदधक्य मेंघुल जािा है| Q िा गमगदिलयन KI िे साथ एि पीला अिक्षेप िेिा है| धािु X िथा Y, क्रमशः , हैं,
(A) Ag and Pb
(B) Ag and Cd
(C) Cd and Pb
(D) Cd and Zn
Q.4 न्यूमैन प्रक्षेप (Newman projections) P, Q, R िथा S नीचे दििाए गए हैं |
दनम्नदलखिि में से िौन सा दििल्प समरूप (identical) अणुओं ि दनरूदपि िरिा है ?
(A) P and Q
(B) Q and S
(C) Q and R
(D) R and S
Q.5 दनम्नदलखिि संरचनाओं में दिस िा आई.यू.पी.ए.सी. (IUPAC) नाम 3-एथैनाइल-2-हाइिर क्सी-4-दमथाइलहेक्स-3-ईन-5-आइन इि एदसि (3-ethynyl-2-hydroxy-4-methylhex-3-en-5-ynoic acid) है ?
Q.6 D-एररथ्र ज़ (D-Erythrose) िा दफशर प्रक्षेप (Fischer projection) नीचे दििाया गया है |
D-एररथ्र ज़ िथा इसिे समाियदिय ं (isomers) P, Q, R, िथा S िी सूची स्तम्भ-I (Column-I) में िी गई है| P, Q, R, िथा S िा स्तम्भ–II (Column-II) में D-एररथ्र ज़ िे साथ सही सम्बन्ध चुनें | (Diastereomer –अप्रदिदबंबी दत्रदिम समाियि, Identical – समरूप, Enantiomer – प्रदिदबंबरूप)
(A) P->2, Q->3, R->2, S->2
(B) P->3, Q->1, R->1, S->2
(C) P->2, Q->1, R->1, S->3
(D) P->2, Q->3, R->3, S->1
Q.7 उष्मागदििी में, 𝑃 − 𝑉 िायग ि दनम्नदलखिि समीिरण से बिाया जािा है,
𝑤 = − ∫ 𝑑𝑉 𝑃ext .
जब एि दनिाय एि दिदशष्ट प्रक्रम से गुजरिा है, िब दिया गया िायग दनम्नदलखिि समीिरण से प्रिदशगि दिया जािा है,
𝑤 = − ∫ 𝑑𝑉 (𝑉𝑅𝑇 − 𝑏 − 𝑉 𝑎2) .
यह समीिरण लागू ह िा है, जब
(A) दनिाय िांिरिाल (van der Waals) अिस्था समीिरण िा पालन िरिा है |
(B) प्रक्रम उत्क्रमणीय एिं समिापीय है |
(C) प्रक्रम उत्क्रमणीय एिं रुद्ध ष्म है |
(D) प्रक्रम अनुत्क्रमणीय एिं खस्थर िाब पर है |
Q.8 दनम्नदलखिि यौदगि ं I-V िे सन्दभग में सही िथन (िथन ं) िा चयन िरें |
(A) संयुग्मी क्षार (conjugate base) में दिस्थानीिरण (delocalization) िे िारण यौदगि I अम्लीय है |
(B) यौदगि IV िा संयुग्मी क्षार ऐर मैदटि (aromatic) है |
(C) यौदगि II िी अम्लीयिा बढ़ जािी है, जब इसमें एि −NO2 प्रदिस्थापी है |
(D) यौदगि ं िी अम्लीयिा िा क्रम है; I > IV > V > II > III
Q.9 दनम्नदलखिि अदभदक्रया अनुक्रम में यौदगि Q, R िथा S प्रमुि उत्पाि हैं |
Q.10 दनम्नदलखिि में से सही िथन (िथन ं) िा चयन िरें |
(A) [FeCl4]− िी ज्यादमदि चिुष्फलिीय (tetrahedral) है |
(B) [Co(en)(NH3)2Cl2]+ िे 2 ज्यादमिीय समाियि (geometrical isomers) हैं |
(C) [FeCl4]− िा प्रचक्रण-मात्र चुम्बिीय आघूणग (spin-only magnetic moment) [Co(en)(NH3)2Cl2]+ से अदधि है |
(D) [Co(en)(NH3)2Cl2]+ में ि बाल्ट आयन (cobalt ion) िा संिरण (hybridization) s𝑝3𝑑2 है |
Q.11 हाइप क्ल राइट, क्ल रेट, िथा परक्ल रेट आयन ं (hypochlorite, chlorate and perchlorate ions) िे सन्दभग में सही िथन है (हैं),
(A) हाइप क्ल राइट (hypochlorite) आयन सबसे प्रबल संयुग्मी क्षार (conjugate base) है |
(B) िे िल क्ल रेट (chlorate) आयन िा आखिि आिार क्ल रीन (Cl) िे एिािी युग्म इलेक्ट्र ॉन ं द्वारा प्रभादिि ह िा है |
(C) हाइप क्ल राइट (hypochlorite) और क्ल रेट (chlorate) आयन असमानुपािन (disproportionation) िे बाि आयन ं िा सिगसम समुच्चय (identical set) िेिे हैं |
(D) हाइप क्ल राइट (hypochlorite) आयन, सल्फाइट (sulfite) आयन िा ऑक्सीिरण िरिा है |
Q.12 धनायन M और ॠणायन X से दनदमगि एि यौदगि िी घनीय एिि ि दििा (cubic unit cell) िी संरचना नीचे दििाई गयी है | इस यौदगि में धनायन िी आयदनि दत्रज्या ॠणायन िी आयदनि दत्रज्या से छ टी है | सही िथन (िथन ं) िा चयन िरें |
(A) यौदगि िा मूलानुपादि सूत्र (empirical formula) MX है |
(B) धनायन M और ॠणायन X िी उपसहसंय जन ज्यादमदियााँ (coordination geometries) दभन्न हैं |
(C) M-X िी आबंध लम्बाई और घनीय एिि ि दििा िे ि र िी लम्बाई िा अनुपाि 0.866 है |
(D) धनायन M और ॠणायन X िी आयदनि दत्रज्याओं िा अनुपाि 0.414 है |
Q.13 एि शंक्वािार फ्लास्क में 0.10 M ऑक्सेदलि अम्ल (oxalic acid) िे 5.00 mL दिलयन िा फीनॉलफ्थेलीन (phenolphthalein) सूचि िा उपय ग िरिे ब्यूरेट द्वारा NaOH से अनुमापन दिया गया | ऐसे पॉंच परीक्षण ं में स्थायी हल्का गुलाबी रंग प्राप्त ह ने िि NaOH िे आिश्यि आयिन िी मात्रा ि सारणी में दिया गया है | NaOH िे दिलयन िी सांद्रिा, म लरिा में, क्या है ? (सारणी में Exp. No.: परीक्षण संख्या, िथा Vol. of NaOH: NaOH िा आयिन है)
Q.14 िाप 1000 K पर अदभदक्रया A ⇌ B पर ध्यान िें | एि समय 𝑡′ पर दनिाय िा िाप बढ़ािर 2000 K दिया गया और दनिाय ि साम्यािस्था में पहाँचने दिया गया | इस प्रय ग िे िौरान A िे आंदशि िाब (partial pressure) ि 1 bar पर खस्थर रिा गया | B िे आंदशि िाब िा समय िे साथ आरेि नीचे दििाया गया है | िाप 1000 K िथा 2000 K पर मानि दगब्ज़ ऊजागओं (standard Gibbs energy) िा अनुपाि क्या है ? (आरेि में Partial Pressure of B: B िा आंदशि िाब, िथा time: समय है)
Q.15 मानि पररखस्थदिय ं (1 bar िथा 298 K) पर, हाइिर जन और ऑक्सीजन िे संय ग से बने एि ईंधन सेल (fuel cell), दजसिी िक्षिा 70% है, पर ध्यान िें | इसिी सेल अदभदक्रया है,
1/2H(𝑔) + 2 O2 (𝑔) → H2O (𝑙) .
H2(𝑔) िे 1.0 × 10−3 mol िे उपभ ग से इस सेल से उत्पन्न िायग ि एिपरमाखिि (monoatomic) आिशग गैस िे 1.00 म ल ि एि उष्मार धी पात्र में संपीदिि िरने िे दलए उपय ग दिया गया | इस पररखस्थदि में आिशग गैस िे िापमान (K में) में दििना पररििगन ह गा ?
इस सेल िे अधग-सेल ं िे मानि अपचयन दिभि ं (standard reduction potentials) िे मान दनम्नदलखिि हैं,
O2(𝑔) + 4H+(𝑎𝑞) + 4𝑒− → 2 H2O (𝑙), 𝐸0 = 1.23 V,
2H+(𝑎𝑞) + 2𝑒− → H2 (𝑔), 𝐸0 = 0.00 V .
उपय ग िरें: 𝐹 = 96500 C mol−1, 𝑅 = 8.314 J mol−1 K−1.
Q.16 ऐलुदमदनयम, सल्फ्यूररि अम्ल िे साथ अदभदक्रया िरिे ऐलुदमदनयम सल्फे ट िथा हाइिर जन बनािा है | िाप 300 K िथा िाब 1.0 atm पर 5.4 g ऐलुदमदनयम ि 50.0 mL 5.0 M सल्फ्यूररि अम्ल िे साथ अदभदक्रया िरिाने पर उत्पन्न हई हाइिर जन गैस िा आयिन लीटर (L) में क्या ह गा ?
(उपय ग िरें: ऐलुदमदनयम िा म लर द्रव्यमान =27.0 g mol−1, 𝑅 = 0.082 atm L mol−1 K−1)
Q.17 92 238 U रेदिय एखक्ट्ि क्षय िे बाि उत्पाि िे रूप में 206 82Pb िेिा है | इस प्रक्रम िे िौरान अल्फा (alpha) और बीटा (beta) िण ं िा उत्सजगन ह िा है | एि चट्टान दजसमें प्रारंभ में 238 92U िी मात्रा 68 × 10−6 g थी, िीन अधागयुओं (half-lives) िे क्षय िे बाि 𝑍 × 1018 अल्फा िण ं ि उत्सदजगि िर 206 82Pb िेिा है | 𝑍 िा मान क्या है ?
Q.18 दनम्नदलखिि अदभदक्रया में यौदगि P से यौदगि Q िा उत्पािन एि आयदनि मध्यििी (intermediate) द्वारा ह िा है | (अदभदक्रया में conc.: सान्द्र, िथा A colourful compound: एि रंगीन य दगि है)
Q िी असंिृप्तिा िी ि दट (degree of unsaturation) क्या है ?
SECTION- C
Q.1 मान लीजिये जि 𝑎, 𝑏 जिघातीय बहुपद (quadratic polynomial) 𝑥2 + 20𝑥 − 2020 िे जिन्न वास्तजवि मूल ों (distinct real roots) ि दर्ााते हैं, एवों मान लीजिये जि 𝑐, 𝑑 जिघातीय बहुपद 𝑥2 − 20𝑥 + 2020 िे जिन्न सम्मिश्र मूल ों (distinct complex roots) ि दर्ााते हैं | तब
𝑎𝑐(𝑎 − 𝑐) + 𝑎𝑑(𝑎 − 𝑑) + 𝑏𝑐(𝑏 − 𝑐) + 𝑏𝑑(𝑏 − 𝑑)
(A) 0
(B) 8000
(C) 8080
(D) 16000
Q.2 यजद फलन (function) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ ि 𝑓(𝑥) = |𝑥|(𝑥 − sin 𝑥) से परििाजित जिया िाता है, तब जनम्न में से िौन सा िथन सही है?
(A) 𝑓 एिै िी (one-one) है, लेजिन आच्छादि (onto) नहीीं है
(B) 𝑓 आच्छादि है, लेजिन एिै िी नहीीं है
(C) 𝑓 एिै िी एवों आच्छादि दोनोीं है
(D) 𝑓 एिै िी िी नहीीं है एवों आच्छादि िी नहीीं है
Q.3 माना जि फलन ों (functions) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ एवों 𝑔: ℝ ⟶ ℝ ि
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥−1 − 𝑒−|𝑥−1| एवों 𝑔(𝑥) = 1/2 (𝑒𝑥−1 + 𝑒1−𝑥).
िे िािा परििाजित जिया िाता है | तब प्रथम चतुथाांर् (first quadrant) में वक् ों (curves) 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) एवों 𝑥 = 0 िे िािा प्रजतबद्ध क्षेत्र (bounded region) िा क्षेत्रफल (area) है
(A) (2 − √3) + 1/2 (𝑒 − 𝑒−1)
(B) (2 + √3) + 1/2 (𝑒 − 𝑒−1)
(C) (2 − √3) + 1/2 (𝑒 + 𝑒−1)
(D) (2 + √3) + 1/2 (𝑒 + 𝑒−1)
Q.4 माना जि 𝑎, 𝑏 एवों 𝜆 धनात्मि वास्तजवि सोंख्याएँ (positive real numbers) हैं | मान लीजिये जि पिवलय (parabola) 𝑦2 = 4𝜆𝑥 िे नाजिलोंब िीवा (latus rectum) िा एि अोंत्य जबन्दु (end point) 𝑃 है, एवों मान लीजिये जि दीघावृत्त (ellipse) x2/4 + 𝑦 = 1 जबन्दु 𝑃 से गुििता है | यजद जबोंदु 𝑃 पि पिवलय एवों दीघावृत्त िी स्पर्ािेखाएँ (tangents) एि दू सिे िे लम्बवत (perpendicular) हैं, तब दीघावृत्त िी उत्के न्द्रता (eccentricity) है
(A) 1/√2
(B) 1/2
(C) 1/3
(D) 2/5
Q.5 माना जि द अजिनत जसक्क (biased coins) 𝐶1 एवों 𝐶2 ि एि बाि उछालने (single toss) पि जचत (head) आने जि प्राजयितायें (probabilities) क्मर्ः 2/3 एवों 1/3 हैं | मान लीजिये जि 𝐶1ि स्वतोंत्र रूप (independently) से द बाि उछालने पि जचत आने िी सोंख्या 𝛼 है, एवों मान लीजिये जि 𝐶2 ि स्वतोंत्र रूप से द बाि उछालने पि जचत आने िी सोंख्या 𝛽 है | तब जिघातीय बहुपद (quadratic polynomial)𝑥2 − 𝛼𝑥 + 𝛽 िे मूल ों (roots) िे वास्तजवि (real) औि बिाबि (equal) ह ने िी प्राजयिता (probability) है
(A) 40/81
(B)20/81
(C)1/2
(D)1/4
Q.6 उन सिी आयत ों (rectangles) पि जवचाि िीजिये ि जि क्षेत्र (region)
{(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ ∶ 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 2 एवों 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 sin(2𝑥)}
में म्मथथत हैं एवों जिनिी एि िुिा 𝑥-अक्ष (𝑥-axis) पि है | इन सिी आयत ों में से अजधितम परिमाप (maximum perimeter) वाले आयत िा क्षेत्रफल (area) ह
(A) 3𝜋/2
(B) 𝜋
(C) 𝜋√3/2
(D) 𝜋√3/2
Q.7 माना जि फलन (function) 𝑓: ℝ → ℝ ि 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + (𝑥 − 1) sin 𝑥 िािा परििाजित जिया िाता है, एवों माना जि 𝑔: ℝ → ℝ एि स्वेच्छ फलन (arbitrary function) है | माना जि 𝑓𝑔: ℝ → ℝ गुणन फलन (product function) है ि जि (𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) िे िािा परििाजित है | तब जनम्न में से िौन सा (से) िथन सही है (हैं)?
(A) यजद 𝑥 = 1 पि 𝑔 सोंतत (continuous) है, तब 𝑥 = 1 पि 𝑓𝑔 अविलनीय (differentiable) है
(B) यजद 𝑥 = 1 पि 𝑓𝑔 अविलनीय है, तब 𝑥 = 1 पि 𝑔 सोंतत है
(C) यजद 𝑥 = 1 पि 𝑔 अविलनीय है, तब 𝑥 = 1 पि 𝑓𝑔 अविलनीय है
(D) यजद 𝑥 = 1 पि 𝑓𝑔 अविलनीय है, तब 𝑥 = 1 पि 𝑔 अविलनीय है
Q.8 माना जि 𝑀 वास्तजवि सोंख्याओों (real numbers) िा एि 3 × 3 व्युत्क्रमणीय आव्यूह (invertible matrix) है एवों माना जि 3 × 3 िे तत्समि आव्यूह (identity matrix) ि 𝐼 से दर्ााया िाता है | यजद 𝑀−1 = adj (adj 𝑀) है, तब जनम्न में से िौन सा (से) िथन सदैव सही है (हैं)?
(A) 𝑀 = 𝐼
(B) det 𝑀 = 1
(C) 𝑀2 = 𝐼
(D) (adj 𝑀)2 = 𝐼
Q.9 माना जि 𝑆 उन सिी सम्मिश्र सोंख्याओों (complex numbers) 𝑧 िा समुच्चय (set) है ि |𝑧2 + 𝑧 + 1| = 1 ि सोंतुष्ट ििती हैं | तब जनम्न में से िौन सा (से) िथन सही है (हैं)?
(A) सिी 𝑧 ∈ 𝑆 िे जलये, |𝑧 + 1/2| ≤ 1/2 है
(B) सिी 𝑧 ∈ 𝑆 िे जलये, |𝑧| ≤ 2 है
(C) सिी 𝑧 ∈ 𝑆 िे जलये, |𝑧 + 1/2| ≥ 1/2 है
(D) समुच्चय 𝑆 मे िे वल औि िे वल चाि अवयव (exactly four elements) हैं
Q.10 माना जि 𝑥, 𝑦 औि 𝑧 धनात्मि वास्तजवि सोंख्याएँ (positive real numbers) हैं | मान लीजिये जि एि जत्रिुि (triangle) िे ि ण (angles) 𝑋, 𝑌 एवों 𝑍 िी सिुख िुिाओों (opposite sides) िी लम्बाईयाँ क्मर्ः 𝑥, 𝑦 एवों 𝑧 हैं | यजद
है, तब जनम्न में से िौन सा (से) िथन सही है (हैं)?
Q.11 माना जि 𝐿1 एवों 𝐿2 जनम्न सिल िेखाएँ (straight lines) हैं |
मान लीजिए जि सिल िेखा
1 एवों 𝐿2 िे समतल (plane) में म्मथथत है, औि 𝐿1 एवों 𝐿2 िे प्रजतच्छे द जबन्दु (point of intersection) से िाती है | यजद िेखा 𝐿, िेखाओों 𝐿1 एवों 𝐿2 िे बीच िे न्यूनि ण (acute angle) ि समजििाजित (bisect) ििती है, तब जनम्न में से िौन सा (से) िथन सही है (हैं)?
(A) 𝛼 − 𝛾 = 3
(B) 𝑙 + 𝑚 = 2
(C) 𝛼 − 𝛾 = 1
(D) 𝑙 + 𝑚 = 0
Q.12 जनम्न असजमिाओों (inequalities) में से िौन सी सही है (हैं)?
Q.13 माना जि log3(3𝑦1 + 3𝑦2 + 3𝑦3 ) िा न्यूनतम सोंिाजवत मान (minimum possible value) 𝑚 है, िहाँ 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 वास्तजवि सोंख्याएँ (real numbers) हैं जिनिे जलये 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 9 है | माना जि (log3𝑥1 + log3𝑥2 + log3𝑥3) िा अजधितम सोंिाजवत मान (maximum possible value) 𝑀 है, िहाँ 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 धनात्मि वास्तजवि सोंख्याएँ (positive real numbers) हैं जिनिे जलये 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 9 है | तब log2(𝑚3) + log3(𝑀2) िा मान है _____
Q.14 माना जि धनात्मि पूणाांि ों िा एि अनुक्म (sequence of positive integers) 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … समाोंति श्रेढ़ी (arithmetic progression) में है जिसिा सावा अोंति (common difference) 2 है | तथा, माना जि धनात्मि पूणाांि ों िा एि अनुक्म 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, … गुण त्ति श्रेढ़ी (geometric progression) में है जिसिा सावा अनुपात (common ratio) 2 है | यजद 𝑎1 = 𝑏1 = 𝑐 है, तब 𝑐 िे सिी सोंिाजवत मान ों जि सोंख्या, जिनिे जलये समीिा (equality)
2(𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛) = 𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛
जिसी धनात्मि पूणाांि 𝑛 िे जलये सही ह , है _____
Q.15 माना जि फलन (function) 𝑓: [0, 2] ⟶ ℝ ि
𝑓(𝑥) = ( 3 − sin(2𝜋𝑥)) sin (𝜋𝑥 − 𝜋 4) − sin (3𝜋𝑥 + 𝜋 4)
िािा परििाजित जिया िाता है | यजद 𝛼, 𝛽 ∈ [0, 2] इस प्रिाि से हैं जि{𝑥 ∈ [0, 2] ∶ 𝑓(𝑥) ≥ 0} = [𝛼, 𝛽], तब 𝛽 − 𝛼 िा मान है _____
Q.16 एि जत्रिुि (triangle) 𝑃𝑄𝑅 में माना जि 𝑎 ⃗ = 𝑄𝑅 ⃗, 𝑏 ⃗ = 𝑅𝑃 ⃗ एवों 𝑐 ⃗ = 𝑃𝑄 ⃗ हैं | यजद
हैं, तब |𝑎 ⃗ × 𝑏 ⃗⃗|2 िा मान है _____
Q.17 वास्तजवि गुणाोंि ों (real coefficients) िे बहुपद (polynomial) 𝑔(𝑥) िे जलये, माना जि 𝑔(𝑥) िी जिन्न वास्तजवि मूल ों िी सोंख्या (number of distinct real roots) ि 𝑚𝑔 से दर्ााते हैं | मान लीजिये जि 𝑆 वास्तजवि गुणाोंि ों िे बहुपद ों िा समुच्चय (set) है ि जि
𝑆 = {(𝑥2 − 1)2(𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3) ∶ 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 ∈ ℝ}.
िािा परििाजित है | माना जि बहुपद 𝑓 िे प्रथम एवों जितीय ि जि िे अविलि ों (first and second order derivatives) ि क्मर्ः 𝑓′ एवों 𝑓′′ से दर्ााते हैं | तब (𝑚𝑓′ + 𝑚𝑓′′ ), िहाँ 𝑓 ∈ 𝑆, िा न्यूनतम सोंिाजवत मान (minimum possible value) है _____
Q.18 माना जि 𝑒 प्रािृ जति लघुगुणि िे आधाि (base of natural logarithm) ि दर्ााता है | वास्तजवि सोंख्या 𝑎 िा व मान जिसिे जलये दायें पक्ष िी सीमा (right hand limit)
एि र्ून्येति वास्तजवि सोंख्या (nonzero real number) िे बिाबि है, है _____