https://drive.google.com/file/d/1T3zc–Fbz0tFHaJq527Y_ZUyAvpOdSuM/view?usp=sharing
SECTION- A
Q.1 जल से भरा हुआ वर्ााकार पेंदी एवं पतली पारदर्ाक ऊर्ध्ााधर दीवार ं वाला एक बड़ा पात्र क्षैततज तल पर रखा हुआ है | जल का अपवतानांक (refractive index) 4/ 3 है| एक तवद्यार्थी ने एक पतलेसीधेतार क ऊर्ध्ााधर अवस्र्था में जल के अंदर पकड़ कर रखा है| पात्र के एक क ने से इस तार की दू री 12 cm है, जैसा तक प्रतीकात्मक (schematic) तित्र में दर्ााया र्या है | एक दू सरा तवद्यार्थी तार क इसी क ने सेतित्र में तदखाई र्यी रेखा (line of sight) के अनुरूप (along) देखता है| उसे तार के एक-एक प्रतततबम्ब, इस रेखा के द न ं ओर समतमत रूप से स्स्र्थत (symmetrically located) तदखाई देतेहैं| इन प्रतततबम्ब ं के बीि की दू री (cm में) ___________ है|
Q.2 एक रेलर्ाड़ी vt र्तत से एक लम्बी सुरंर् के अंदर जा रही है| रेलर्ाड़ी एवं सुरंर् की अनुप्रस्र्थ काट का क्षेत्रफल क्रमर्ः St एवं So
(So = 4St) है| मान लीतजये तक रेलर्ाड़ी के सामने की लर्भर् समस्त वायु का प्रवाह सुरंर्की दीवार एवं रेलर्ाड़ी के बाह्य-पृष्ठ के मध्य रेलर्ाड़ी की र्तत केतवपरीत तदर्ा में ह ता है; तर्था, वायु का प्रवाह रेलर्ाड़ी के सापेक्ष धारारेखीय (laminar) एवं स्र्थाई है| रेलर्ाड़ी के भीतर हवा का दबाव एवं वायुमंडलीय दबाव द न ं po हैं| वायु का घनत्व ρ है| रेलर्ाड़ी के बाह्य-पृष्ठ एवं सुरंर् की दीवार के बीि के स्र्थान में दबाव p है तब 𝑝0 − 𝑝 = 7/2𝑁𝜌𝑣𝑡2 | तद् नुसार, N का मान _______ है |
Q.3 द बड़ी वृत्ताकार ितक्रकाएं (discs), तजनके बीि की दू री 0.01 m है, एक स्िि के द्वारा एक बैटरी से तित्रानुसार जुड़ी हुई हैं | ऊपरी ितक्रका के कें द्र में स्स्र्थत एक लघु तिद्र से आवेतर्त तेल की बूंदें, तजनका घनत्व 900 kg m−3 है, ि ड़ी जाती हैं | जब तेल की कु ि बूंदें अंततम वेर् (terminal velocity) प्राप्त कर लेती हैं, तब ितक्रकाओं के बीि 200 V की व ल्टता लर्ाने के तलए स्िि क बंद (on) कर तदया जाता है | इसके पररणामिरुप, 8 × 10−7m की तत्रज्या वाली तेल की एक बूंद ऊर्ध्ााधर तदर्ा में िलना बंद कर देती हैं तर्था
ितक्रकाओं के बीि में तैरने लर्ती है| तेल की इस बूंद में तवद्यमान इलेक्ट्र ान ं की संख्या ______है[उत्प्लावन (buoyancy) बल क नर्ण्य मानें, र्ुरुत्वीय त्वरण का मान 10 ms−2 तर्था इलेक्ट्र ान का आवेर् (e) = 1.6×10–19 C लें] |
Q.4 र्मा वायुसे भरा हुआ एक र्ुब्बारा कु ि सवाररय ं एवं कु ि रेत की प टतलय ं क लेकर जा रहा है | रेत की प्रत्येक प टली का द्रव्यमान 1 kg है, तर्था र्ुब्बारे का संपूणा द्रव्यमान 480 kg है | इसे उत्प्लावकता (buoyancy) प्रदान करने वाला प्रभावी आयतन V है | अपनी साम्यावस्र्था में यह र्ुब्बारा 100 m की ऊं िाई पर तैरता है | जब रेत की N प टतलयााँ र्ुब्बारे से तनकाल कर फें क दी जाती हैं, त प्रभावी आयतन V के तबना पररवततात हुए र्ुब्बारा अपनी नयी साम्यावस्र्था में 150 m की ऊं िाई के तनकट पहुाँिता है | यतद वायु का घनत्व धरातल से ऊं िाई h पर 𝜌(ℎ) = 𝜌0𝑒−ℎ/ℎ0 ह , जहां 𝜌0 = 1.25 kg m−3 एवं ho = 6000 m है, तब N का मान _ ह र्ा |
Q.5 एक तबंदु-आवेर् क l लम्बाई की ड री के एक तसरे से बााँध कर ऊर्ध्ााधर अवस्र्था में लटकाया र्या है | तबंदु- आवेर् का द्रव्यमान m तर्था उस पर आवेर् q है| तद्वध्रुव आघूणा(dipole moment) p⃗ के एक तबंदु-तद्वध्रुव (point dipole) क अनंत से इस तबंदु-आवेर् की ओर लाया जाता है, तजस कारण तबंदु-आवेर् अपनी मूल अवस्र्था से दू र की ओर तवक्षेतपत ह जाता है | इस तनकाय की अंततम साम्यावस्र्था में तबंदु-तद्वध्रुव की तदर्ा, तवतभन्न क ण एवं दू ररयां नीिेतित्र में दर्ाायी र्यी हैं| यतद तबंदु-तद्वध्रुव क इस स्स्र्थतत तक लाने में तकया र्या काया N × (mgh) है, जहां g र्ुरुत्वीय त्वरण है, त N का मान है _____________ | (यतद एक तबंदु द्रव्यमान क तीन समतल बल (coplanar force) साम्यावस्र्था में रखें त Fsin θ का मान सभी बल ं के तलए समान ह ता है | यहााँ F क ई भी एक बल है तर्था θ अन्य द बल ं के बीि का क ण है )
Q.6 एक ऊष्मार धी ऊर्ध्ााकार बंद बेलनाकार पात्र की ऊं िाई 8 m है | इस पात्र क एक ऊष्मा-पाया (diathermic) (आदर्ा ऊष्मा सुिालक) तवभाजक (द्रव्यमान 8.3 kg) द्वारा द बराबर भार् ं में बांटा र्या है (तित्र देखें) | अतः आरम्भ में तवभाजक पात्र के ऊपरी तल से4 m दू री पर है| प्रत्येक भार् में 300 K तापमान पर आदर्ा र्ैस के 0.1 म ल भरेहैं | तवभाजक क मुक्त करने पर यह तबना घर्ाण के र्ततमान ह ता है, तर्था इस प्रतक्रया मेंपात्र के एक भार् से दू सरे भार् में र्ैस का स्र्थान्नान्तरण नहीं ह ता है | जब तनकाय साम्यावस्र्था में पहुाँिता है
तब तवभाजक की पात्र के ऊपरी तल से दू री (m में) ________ ह र्ी (र्ुरुत्वीय त्वरण = 10 ms−2 तर्था सावातत्रक र्ैस तनयतांक = 8.3 J mol−1K−1 लें )|
Q.7 एक बीकर, तजसकी तत्रज्या 𝑟 है, 𝐻 ऊाँ िाई तक जल से भरा है, जैसा की तित्र में बाईं ओर दर्ााया र्या है | जल का अपवतानांक (refractive index) 4/3 है | जल से भरा यह बीकर एक क्षैततज समतल (table) पर रखा र्या है |यह तनकाय क णीय र्तत 𝜔 से घूणान कर रहा है | इस घूणान के कारण जल का पृष्ठ वक्रीय ह जाता है | इससे जल के पृष्ठ के उच्चतम तबंदु (बीकर की पररतध पर स्स्र्थत ) एवं न्यूनतम तबंदु (बीकर के अक्ष पर स्स्र्थत ) के मध्य की ऊाँ िाई ℎ (ℎ ≪ 𝐻, ℎ ≪ 𝑟) ह जाती है जैसा तक तित्र में दायीं ओर दर्ााया र्या है | यतद हम इस वक्रीय पृष्ठ क वक्रता तत्रज्या 𝑅 का र् लीय पृष्ठ मानें त ( 𝑔 र्ुरुत्वीय त्वरण है )
Q.8 एक रैंप (लम्बे उन्नत तल के समान) क्षैततज से 30o का क ण बनाता है | एक तवद्यार्थी इस रैंप पर नीिे से 𝑣𝑜 र्तत से आरम्भ कर ऊपर की ओर स्के तटंर् करता/करती है |तित्रानुसार इस रैंप पर तवद्यार्थी 𝑅 तत्रज्या के अधावृत्ताकार पर्थ 𝑥𝑦𝑧 पर वापस मुड़ना िाहता/िाहती है और ऐसा करने पर वह धरती से अतधकतम ऊाँ िाई ℎ (तबंदु 𝑦 पर ) तक पहुंिता/पहुंिती है | मान लीतजये तक ऊजाा का क्षय नर्ण्य है तर्था इस अतधकतम ऊाँ िाई पर वापस मुड़ने के तलए के वल उसका भार ही उसे आवश्यक बल प्रदान करता है |तब (र्ुरुत्वीय त्वरण 𝑔 है)
(A) 𝑣02 − 2𝑔ℎ = 1/2𝑔𝑅
(B) 𝑣02 − 2𝑔ℎ = √3/2𝑔𝑅
(C) तबन्दुओंx तर्था z पर आवश्यक अतभके न्द्र बल (centripetal force) र्ून्य है |
(D) तबन्दुओंx तर्था z पर आवश्यक अतभके न्द्र बल (centripetal force) अतधकतम है |
Q.9 द्रव्यमान 𝑚 एवं लम्बाई 𝐿 वाली एक र्लाका (rod), ज तक अपने एक ि र से कीतलत (pivoted) है, उद्वााधर लटकी हुई है | समान द्रव्यमान की एक र् ली, तजसकी र्तत 𝑣 है, र्लाका से क्षैततज तदर्ा में िलते हुए टकराती है तर्था उसके अन्दर धंस जाती है | टकराने वाले तबंदु की कीलक से दू री 𝑥 है | यह संयुक्त तनकाय कीलक के पररतः क णीय वेर् से घूमता है | क णीय वेर् का अतधकतम मान 𝜔𝑀 है, ज की 𝑥 = 𝑥𝑀 पर प्राप्त ह ता है| तब
Q.10 एक X −तकरण नतलका (X − ray tube) के तंतु (कै र्थ ड), तजसकी तंतु धारा (filament current) 𝐼 है, से इलेक्ट्र ान उत्सतजात ह ते हैं | ये इलेक्ट्र ान लक्ष्य (एन ड ) पर पड़ते हैं | लक्ष्य एवं तंतु के बीि की दू री 𝑑 है | लक्ष्य (एन ड ) क तंतु (कै र्थ ड) की तुलना में उच्च तवभव 𝑉 पर रखा र्या है |पररणाम िरुप, लक्ष्य (एन ड ) से संतत (continuous) एवं अतभलक्षतणक (characteristic) X −तकरणें उत्सतजात ह ती हैं | यतद तंतु धारा 𝐼 क घटा कर 𝐼/2 कर तदया जाए, तवभवान्तर 𝑉 क बढ़ाकर 2𝑉 कर तदया जाए एवं बीि की दू री 𝑑 क घटा कर 𝑑/2 कर तदया जाए तब
(A) अन्तक तरंर् दैध्या (𝑐𝑢𝑡 − 𝑜𝑓𝑓 𝑤𝑎𝑣𝑒𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ) आधी ह जायेर्ी, एवं अतभलक्षतणक 𝑋 − तकरण ं की तरंर् दैध्या समान रहेर्ी |
(B) अन्तक तरंर् दैध्या एवं अतभलक्षतणक 𝑋 − तकरण ं की तरंर् दैध्या, द न ं ही समान रहेंर्ी |
(C) अन्तक तरंर् दैध्या आधी ह जायेर्ी, एवं सभी 𝑋 − तकरण ं की तीव्रता घट जायेर्ी |
(D) अन्तक तरंर् दैध्या द र्ुना बढ़ जायेर्ी, एवं सभी 𝑋 − तकरण ं की तीव्रता घट जायेर्ी |
Q.11 द समरस (identical) अिालक (non-conducting) ठ स र् ले, तजनके द्रव्यमान एवं आवेर् एकसमान हैं, एक उभयतनष्ठ (common) तबंदु से द द्रव्यमान रतहत अिालक ड ररय ं (strings) के द्वारा वायु में लटक रहे हैं | द न ं ड ररय ं की लम्बाई एकसमान है | साम्यावस्र्था में द न ं ड ररय ं के बीि का क ण 𝛼 है| यह र् ले अब एक परावैद् युत (dielectric) द्रव में डुबाये जाते हैं | इस द्रव का घनत्व 800 kg m−3 और परावैद् युतांक 21 है | द्रव में डुबाने के बाद यतद द न ं ड ररय ं के बीि का क ण पहले तजतना ही रहे , तब
(A) र् ल ं के बीि का तवद् युत बल भी अपररवततात रहता है|
(B) र् ल ं के बीि का तवद् युत बल कम ह र्या है |
(C) र् ल ंका द्रव्यमान घनत्व 840 kg m−3 है |
(D) र् ल ं क बांधने वाली ड ररय ं में तवद्यमान तनाव बदला नहीं है
Q.12 मूल तबंदु से 𝑡 = 0 समय पर 1 ms−1 की र्तत से आरम्भ करते हुए एक कण 𝑥 − 𝑦 तल में द तवमीय प्रक्षेप-पर्थ का अनुसरण करता है | कण की र्ततमान अवस्र्था में इसके तनदेर्ांक समीकरण 𝑦 = 𝑥2/2 से सम्बद्ध हैं | इसके त्वरण के 𝑥 एवं 𝑦 घटक ं क क्रमर्ः 𝑎𝑥 तर्था 𝑎𝑦 से दर्ााया जाता है | तब
(A) 𝑎𝑥 = 1 ms−2 इंतर्त करता है तक जब कण मूल-तबंदु पर है तब 𝑎𝑦 = 1 ms−2
(B) 𝑎𝑥 = 0 इंतर्त करता है तक सभी समय पर 𝑎𝑦 = 1 ms−2
(C) at 𝑡 = 0 पर कण का वेर् x − तदर्ा की ओर तनतदाष्ट (pointing) ह र्ा |
(D) 𝑎𝑥 = 0 इंतर्त करता है तक t = 1 s पर x −अक्ष एवं कण के वेर् के बीि का क ण 45 o है |
Q.13 पानी के अंदर स्स्र्थत र् लाकार बुलबुले की तत्रज्या 𝑅 है | बुलबुले के अंदर का दाब और पानी के दाब का मान 𝑝0 लें |यह बुलबुला अब तत्रज्य (radial) तदर्ा में रुध ष्म (adiabatic) तवतध से संपीतड़त (compress) ह ता है, तजससे इसकी तत्रज्या (𝑅 − 𝑎) ह जाती है | 𝑎 ≪ 𝑅 के तलए इस प्रक्रम में तकये र्ये काया का मान (4𝜋𝑝0𝑅𝑎2)𝑋 है | यहााँ पर 𝑋 एक तनयतांक है एवं 𝛾 = 𝐶𝑝 ⁄𝐶𝑉 = 41⁄ 30. है | 𝑋 का मान है __________________
Q.14 संतुतलत अवस्र्था में एक व्हीटस्ट न सेतु (Wheatstone bridge) की िार भुजाओं के प्रततर धक तित्र में तदखाए र्ए हैं | प्रततर धक 𝑅3 का ताप र्ुणांक (𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡) 0.0004 oC−1 है | यतद 𝑅3 का तापमान 100 oC बढ़ाया जाता है, तब 𝑆 और 𝑇 के बीि उत्पन्न व ल्टता _______________ व ल्ट ह र्ी |
Q.15 द संधाररत्र (capacitors), तजनकी धाररताएाँ 𝐶1 = 2000 ± 10 pF एवं 𝐶2 = 3000 ± 15 pF हैं, श्रेणीक्रम (series) में संय तजत हैं |इस संय जन के मध्य व ल्टता 𝑉 = 5.00 ± 0.02 V है | संधाररत्र के इस संय जन में संतित उजाा की र्णना में प्रततर्त त्रुतट _____________ है |
Q.16 धरती की सतह पर ऐलुतमतनयम [आयतन र्ुणांक (bulk modulus = −𝑉 𝑑𝑃/𝑑𝑉= 70 GPa) के एक ठ सघनाकार खंड के एक तकनारे की लम्बाई (edge length) 1 m है | यह खंड 5 km र्हरे समुद्र के तल पर रखा है | जल का औसत घनत्व 103 kg m−3 एवं र्ुरुत्वीय त्वरण 10 ms−2 लेते हुए खंड के तकनारे की लम्बाई में पररवतान (mm में) ______________________ है |
Q.17 तित्रानुसार, द 𝐿𝑅 पररपर्थ ं (circuits) के प्रेरक ं (inductors) क एक दू सरे के समीप रखा र्या है | प्रेरक ं काि-प्रेरकत्व (self inductance), प्रततर ध, अन्य न्य-प्रेरकत्व (mutual inductances) एवं अनुप्रयुक्त व ल्टता (applied voltages) का मान पररपर्थ में तदया र्या है | द न ं स्िि ं क एक सार्थ बंद (on) करने के पश्चात् जब तवद् युत् धाराएं अपनी स्र्थायी अवस्र्था (steady state) में पहुाँिती हैं, तब तक प्रेरक ं में प्रेररत तवद् युत्-वाहक-बल के तवरुद्ध बैटररय ं द्वारा तकया र्या कु ल काया _________________ mJ है |
Q.18 1 kg जल से भरा एक पात्र सूया के प्रकार् में रखा है, तजसके कारण पररवेर् (surroundings) की अपेक्षा यह जल अतधक र्मा ह जाता है | प्रतत सेकं ड प्रतत क्षेत्रफल इकाई पर सूया-प्रकार् से तमलने वाली औसत ऊजाा 700 Wm−2 है, एवं यह ऊजाा जल द्वारा 0.05 m2 के प्रभावी क्षेत्रफल में अवर् तर्त ह ती है | मान लीतजये तक जल के द्वारा पररवेर् क ह ने वाली ऊष्मा-हातन न्यूटन के र्ीतलन तसद्धांत का अनुसरण करती है | तब लम्बे समय के पश्चात, जल एवं पररवेर् के बीि तापमान का अंतर _______________________℃ ह र्ा [पात्र के प्रभाव
क नर्ण्य मानें, तर्था न्यूटन के र्ीतलन तसद्धांत का तनयतांक = 0.001 s−1, जल की ऊष्मा क्षमता (heat capacity) = 4200 J kg−1K−1 लें ]|
SECTION- B
Q.1 चार परमाणुओं के प्रथम (𝐼1), द्वितीय (𝐼2), तथा तृतीय (𝐼3) आयनन एन्थैल्पी (ionization enthalpy) के मान नीचे सारणी में द्विए गए हैं | इन परमाणुओं के परमाणु क्रमांक (atomic number) 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, तथा 𝑛 + 3 हैं, जहााँ 𝑛 < 10 है | 𝑛 का मान क्या है ) ?
Q.2 द्वनम्नद्विखित यौद्वगक ं क उनकी द्रव अवस्था में मानते हुए द्ववचार करें :
O2, HF, H2O, NH3, H2O2, CCl4, CHCl3, C6H6, C6H5Cl.
जब एक आवेद्वित कं घे (charged comb) क इनके प्रवाह के पास िाया जाता है, इनमें से द्वकतने नीचे द्विए गए
द्वचत्र के अनुसार द्ववचिन प्रिद्विित करेंगे ?
Q.3 एक िुबिि क्षारीय द्ववियन में, KMnO4 तथा KI की रसायद्वनक अद्विद्वक्रया रससमीकरणद्वमतीय (stoichiometric) मात्रा अनुसार ह ती है | इसमें 4 म ि KMnO4 के उपि ग के बाि, द्वनमुिक्त I2 के म ि ं की संख्या क्या ह गी ?
Q.4 प टैद्वियम क्र मेट (potassium chromate) के एक अम्लीकृ त द्ववियन पर समान आयतन की ऐद्वमि ऐल्क हॉि (amyl alcohol) की परत बनायी गयी | इसमें 1 mL 3% H2O2 क द्वमिाने के बाि अच्छी तरह से द्वहिाने पर ऐल्क हॉि की नीिे रंग की परत बनती है | यह नीिा रंग क्र द्वमयम (VI) के एक यौद्वगक ‘X’ के बनने के कारण ह ता है | X के एक अणु में ऑक्सीजन के द्वकतने परमाणु क्र द्वमयम के साथ एकि आबंध िारा बंद्वधत हैं ?
Q.5 एक पेप्टाइड की संरचना नीचे िी गयी है |
यद्वि इस पेप्टाइड पर नेट आवेि का द्वनरपेक्ष मान (absolute value), pH = 2, pH = 6, तथा pH = 11 पर क्रमिः |𝑧1|, |𝑧2| तथा |𝑧3| है, त |𝑧1| + |𝑧2| + |𝑧3| का मान क्या ह गा ?
Q.6 एक काबिद्वनक यौद्वगक (C8H10O2) समति ध्रुद्ववत प्रकाि (plane-polarized light) क घूद्वणित करता है | यह उिासीन FeCl3 द्ववियन के साथ गुिाबी रंग िेता है | इस यौद्वगक के कु ि संिाद्ववत समवयद्ववय ं (isomers) की संख्या द्वकतनी है ?
Q.7 एक प्रय ग में नीचे ििािए द्वचत्र I के अनुसार एक पात्र में एक य द्वगक X (गैस/द्रव/ठ स) के m gram क तुिा में रिा गया | एक चुम्बकीय क्षेत्र की उपखस्थद्वत में, उस पिड़े, द्वजस पर X रिा हुआ है, का द्ववस्थापन यौद्वगक X के अनुसार या त उर्ध्िमुिी (द्वचत्र II) या अध मुिी (द्वचत्र III) ह ता है | सही कथन (कथन ं) का चयन करें | (द्वचत्र में Magnetic field absent: चुम्बकीय क्षेत्र अनुपखस्थत; Magnetic field present: चुम्बकीय क्षेत्र उपखस्थत; magnet: चुम्बक; Balanced: संतुद्वित; Upward deflection: उर्ध्िमुिी द्ववस्थापन; Downward deflection: अध मुिी द्ववस्थापन हैं)
(A) यद्वि 𝐗 = H2O(l) है, त पिड़े का द्ववस्थापन उर्ध्िमुिी ह ता है |
(B) यद्वि 𝐗 = K4[Fe(CN)6](𝑠) है, त पिड़े का द्ववस्थापन उर्ध्िमुिी ह ता है |
(C) यद्वि 𝐗 = O2(𝑔) है, त पिड़े का द्ववस्थापन अध मुिी ह ता है |
(D) यद्वि 𝐗 = C6H6(𝑙) है, त पिड़े का द्ववस्थापन अध मुिी ह ता है |
Q.8 द्वनम्नद्विखित अद्विद्वक्रया के द्विए द्विए गए आरेि ं में से सही आरेि (आरेि ं) का चयन करें | (P की आरंद्विक सांद्रता [P]0 है, initial rate = आरंद्विक वेग, तथा time = समय)
Q.9 बॉक्साइट से ऐिुद्वमद्वनयम के द्वनष्कर्िण (extraction) के सन्दिि में सही कथन है (हैं) |
(A) जब स द्वडयम ऐिुद्वमनेट (sodium aluminate) के द्ववियन में CO2 बुिबुिाया (bubbled) जाता है, तब
जिय द्वजत (hydrated) Al2O3 का अवक्षेपण ह ता है |
(B) Na3AlF6 क द्वमिाने पर ऐिुद्वमना (alumina) का गिनांक कम ह जाता है |
(C) द्ववि् युत्अपघटन के िौरान एन ड पर CO2 मुक्त ह ती है |
(D) कै थ ड एक काबिन की परत युक्त स्टीि का पात्र है |
Q.10 द्वनम्नद्विखित में से सही कथन (कथन ं) का चयन करें |
(A) SnCl2. 2H2O एक अपचायक (reducing agent) है |
(B) SnO2, KOH से अद्विद्वक्रया कर के , K2[Sn(OH)6] बनता है |
(C) PbCl2 के HCl के द्ववियन में Pb2+ तथा Cl− आयन ह ते हैं |
(D) Pb3O4 की गमि तनु नाइद्वटि क अम्ल के साथ अद्विद्वक्रया, ज PbO2 बनाती है, एक रेडॉक्स अद्विद्वक्रया है |
Q.11 द्वनम्नद्विखित चार यौद्वगक ं I, II, III, तथा IV के सन्दिि में सही कथन है (हैं) |
(A) क्षारकता का क्रम II > I > III > IV है I
(B) I तथा II के p𝐾𝑏 के अंतर का पररमाण, III तथा IV के p𝐾𝑏 के अंतर के पररमाण से अद्वधक है |
(C) III में अनुनाि प्रिाव (resonance effect) IV से अद्वधक है |
(D) द्वत्रद्ववम प्रिाव (steric effect) के कारण IV की क्षारकता III से अद्वधक है |
Q.12 यौद्वगक P के द्वनम्नद्विखित रूपान्तरण ं पर द्ववचार करें | (Optically active: ध्रुवण घूणिक; reagent: अद्विकमिक; Optically active acid: ध्रुवण घूणिक अम्ल)
Q.13 0.1 M िुबिि क्षार (B) के एक द्ववियन का अनुमापन 0.1 M प्रबि अम्ल (HA) के िारा द्वकया गया | HA के द्वमिाए गए आयतन के साथ द्ववियन के pH का पररवतिन नीचे द्वचत्र में ििािया गया है (Volume of HA: HA का आयतन) | क्षार का p𝐾𝑏 क्या है ? उिासीनीकरण अद्विद्वक्रया इस प्रकार है,
B + HA → BH+ + A− .
Q.14 ताप 25 oC पर, द्रव 𝐀 तथा 𝐁 सिी संघटन ं पर आििि द्ववियन बनाते हैं | ऐसे ि द्ववियन, द्वजनमें 𝐀 का म ि- अंि 0.25 तथा 0.50 है, का कु ि वाष्प िाब (vapor pressure) क्रमिः 0.3 तथा 0.4 bar है | िुद्ध द्रव 𝐁 का वाष्पिाब (bar में) क्या है ?
Q.15 नीचे द्विया गया द्वचत्र, H2अणु के तिस्थ इिेक्ट्ि ॉद्वनक अवस्था (electronic ground state) में अंतनािद्विक िू री (internuclear distance), 𝑑, के सापेक्ष खस्थद्वतज ऊजाि (potential energy) का आरेि है | इिेक्ट्ि ॉन-इिेक्ट्ि ॉन
प्रद्वतकर्िण तथा नाद्विक-नाद्विक प्रद्वतकर्िण ऊजािएं 𝑑 = 𝑑0 पर यद्वि अनुपखस्थत ह ं, त नेट खस्थद्वतज ऊजाि 𝐸0 (जैसा की द्वचत्र में ििािया गया है) का मान (kJ mol−1 में) क्या है ?
संििि के द्विए जब इिेक्ट्ि ॉन नाद्विक से अनन्त िू री पर है तब H परमाणु की खस्थद्वतज ऊजाि िून्य मानें | (उपय ग करें: आव गाद्र खस्थरांक (Avogadro constant ) = 6.023 × 1023 mol−1)
Q.16 नीचे द्वििाए गए P से Q अद्विद्वक्रया क्रम पर द्ववचार करें | P से मुख्य उत्पाि Q की समग्र िखि (overall yield) 75% है | 9.3 mL P से प्राप्त उत्पाि Q की gram में मात्रा क्या ह गी ?
[उपय ग करें: P का घनत्व = 1.00 g mL−1; C, H, O तथा N के म िर द्रव्यमान (molar mass) क्रमिः 12.0, 1.0, 16.0 तथा 14.0 g mol−1 हैं ]
Q.17 के द्वसटेराइट (cassiterite) का क क (coke) के साथ अपचयन करने से द्वटन प्राप्त ह ता है | द्वनम्नद्विखित आाँकड़ ं का उपय ग करके , न्यूनतम तापमान (K में), द्वजस पर क क िारा के द्वसटेराइट का अपचयन ह ता है, क्या ह गा ?
ताप 298 K: ∆ 𝑓𝐻0(SnO2(𝑠)) = −581.0 kJ mol−1, ∆𝑓𝐻0(CO2(g)) = −394.0 kJ mol−1,
𝑆0(SnO2(s)) = 56.0 J K−1mol−1, 𝑆0(Sn(s)) = 52.0 J K−1mol−1,
𝑆0(C(𝑠)) = 6.0 J K−1mol−1, 𝑆0(CO2(g)) = 210.0 J K−1mol−1.
मानें द्वक सिी एन्थैल्पी और एन्ट्ि ॉपी ताप पर द्वनििर नहीं करते हैं |
Q.18 0.05 M Zn2+ के एक अम्लीकृ त द्ववियन क 0.1 M H2S से संतृप्त (saturate) द्वकया जाता है | ZnS के अवक्षेपण क र कने के द्विए H+ की द्वकतने न्यूनतम म िर सांद्रता (M) की आवश्यकता ह गी ?
(उपय ग करें: 𝐾sp (ZnS) = 1.25 × 10−22 तथा H2S का समग्र द्ववय जन खस्थरांक (overall dissociation constant), 𝐾NET = 𝐾1𝐾2= 1 × 10−21)
SECTION- C
Q.1 For a complex number 𝑧, let Re(𝑧) denote the real part of 𝑧. Let 𝑆 be the set of all complex numbers 𝑧 satisfying 𝑧4 − |𝑧|4 = 4 𝑖 𝑧2, where 𝑖 = √−1 . Then the minimum possible value of |𝑧1 − 𝑧2|2, where 𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝑆 with Re(𝑧1) > 0 and Re(𝑧2) < 0, is _____
Q.2 The probability that a missile hits a target successfully is 0.75. In order to destroy the target completely, at least three successful hits are required. Then the minimum number of missiles that have to be fired so that the probability of completely destroying the target is NOT less than 0.95, is _____
Q.3 Let 𝑂 be the centre of the circle 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, where 𝑟 > √5/2. Suppose 𝑃𝑄 is a chord of this circle and the equation of the line passing through 𝑃 and 𝑄 is 2𝑥 + 4𝑦 = 5. If the centre of the circumcircle of the triangle 𝑂𝑃𝑄 lies on the line 𝑥 + 2𝑦 = 4, then the value of 𝑟 is _____
Q.4 The trace of a square matrix is defined to be the sum of its diagonal entries. If 𝐴 is a 2 × 2 matrix such that the trace of 𝐴 is 3 and the trace of 𝐴3 is −18, then the value of the determinant of 𝐴 is _____
Q.5 Let the functions 𝑓: (−1, 1) → ℝ and 𝑔: (−1, 1) → (−1, 1) be defined by
𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 1| + |2𝑥 + 1| and 𝑔(𝑥) = 𝑥 − [𝑥],
where [𝑥] denotes the greatest integer less than or equal to 𝑥. Let 𝑓 ∘ 𝑔: (−1, 1) → ℝ be the composite function defined by (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)). Suppose 𝑐 is the number of points in the interval (−1, 1) at which 𝑓 ∘ 𝑔 is NOT continuous, and suppose 𝑑 is the number of points in the interval (−1, 1) at which 𝑓 ∘ 𝑔 is NOT differentiable. Then the value of 𝑐 + 𝑑 is _____
Q.6 The value of the limit
is _____
Q.7 Let 𝑏 be a nonzero real number. Suppose 𝑓: ℝ → ℝ is a differentiable function such that 𝑓(0) = 1. If the derivative 𝑓′ of 𝑓 satisfies the equation
for all 𝑥 ∈ ℝ, then which of the following statements is/are TRUE?
(A) If 𝑏 > 0, then 𝑓 is an increasing function
(B) If 𝑏 < 0, then 𝑓 is a decreasing function
(C) 𝑓(𝑥)𝑓(−𝑥) = 1 for all 𝑥 ∈ ℝ
(D) 𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥) = 0 for all 𝑥 ∈ ℝ
Q.8 Let 𝑎 and 𝑏 be positive real numbers such that 𝑎 > 1 and 𝑏 < 𝑎. Let 𝑃 be a point in the first quadrant that lies on the hyperbola 𝑥2/ 𝑎2 − 𝑦2/ 𝑏2 = 1. Suppose the tangent to the hyperbola at 𝑃 passes through the point (1, 0), and suppose the normal to the hyperbola at 𝑃 cuts off equal intercepts on the coordinate axes. Let ∆ denote the area of the triangle formed by the tangent at 𝑃, the normal at 𝑃 and the 𝑥-axis. If 𝑒 denotes the eccentricity of the hyperbola, then which of the following statements is/are TRUE?
(A) 1 < 𝑒 < √2
(B) √2 < 𝑒 < 2
(C) ∆= 𝑎4
(D) ∆= 𝑏4
Q.9 Let 𝒇: ℝ → ℝ and 𝒈: ℝ → ℝ be functions satisfying
𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) and 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑔(𝑥)
for all 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. If lim𝑥→0 𝑔(𝑥) = 1, then which of the following statements is/are TRUE?
(A) 𝑓 is differentiable at every 𝑥 ∈ ℝ
(B) If 𝑔(0) = 1, then 𝑔 is differentiable at every 𝑥 ∈ ℝ
(C) The derivative 𝑓′(1) is equal to 1
(D) The derivative 𝑓′(0) is equal to 1
Q.10 Let 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 be real numbers such that 𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 ≠ 0 and 𝛼 + 𝛾 = 1. Suppose the point (3, 2, −1) is the mirror image of the point (1, 0, −1) with respect to the plane 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾𝑧 = 𝛿. Then which of the following statements is/are TRUE?
(A) 𝛼 + 𝛽 = 2
(B) 𝛿 − 𝛾 = 3
(C) 𝛿 + 𝛽 = 4
(D) 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝛿
Q.11 Let 𝑎 and 𝑏 be positive real numbers. Suppose 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎𝑖 ̂̇ + 𝑏𝑗 ̂̇ and 𝑃𝑆 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑎𝑖 ̂̇ − 𝑏𝑗 ̂̇ are adjacent sides of a parallelogram 𝑃𝑄𝑅𝑆. Let 𝑢 ⃗ and 𝑣 be the projection vectors of 𝑤 ⃗⃗ = 𝑖 ̂̇ + 𝑗 ̂̇ along 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ and 𝑃𝑆 ⃗⃗⃗⃗ respectively. If |𝑢 ⃗ | + |𝑣 | = |𝑤 ⃗⃗ | and if the area of the parallelogram 𝑃𝑄𝑅𝑆 is 8, then which of the
following statements is/are ?
(A) 𝑎 + 𝑏 = 4
(B) 𝑎 − 𝑏 = 2
(C) The length of the diagonal 𝑃𝑅 of the parallelogram 𝑃𝑄𝑅𝑆 is 4
(D) 𝑤 ⃗⃗ is an angle bisector of the vectors 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ and 𝑃𝑆 ⃗⃗⃗⃗
Q.11 Let 𝑎 and 𝑏 be positive real numbers. Suppose 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎𝑖 ̂̇ + 𝑏𝑗 ̂̇ and 𝑃𝑆 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑎𝑖 ̂̇ − 𝑏𝑗 ̂̇ are adjacent sides
of a parallelogram 𝑃𝑄𝑅𝑆. Let 𝑢 ⃗ and 𝑣 be the projection vectors of 𝑤 ⃗⃗ = 𝑖 ̂̇ + 𝑗 ̂̇ along 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ and 𝑃𝑆 ⃗⃗⃗⃗ ,
respectively. If |𝑢 ⃗ | + |𝑣 | = |𝑤 ⃗⃗ | and if the area of the parallelogram 𝑃𝑄𝑅𝑆 is 8, then which of the
following statements is/are TRUE?
(A) 𝑎 + 𝑏 = 4
(B) 𝑎 − 𝑏 = 2
(C) The length of the diagonal 𝑃𝑅 of the parallelogram 𝑃𝑄𝑅𝑆 is 4
(D) 𝑤 ⃗ is an angle bisector of the vectors 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ and 𝑃𝑆
Q.12 For nonnegative integers 𝑠 and 𝑟, let
For positive integers 𝑚 and 𝑛, let
where for any nonnegative integer 𝑝,
Then which of the following statements is/are TRUE?
(A) 𝑔(𝑚, 𝑛) = 𝑔(𝑛, 𝑚) for all positive integers 𝑚, 𝑛
(B) 𝑔(𝑚, 𝑛 + 1) = 𝑔(𝑚 + 1, 𝑛) for all positive integers 𝑚, 𝑛
(C) 𝑔(2𝑚, 2𝑛) = 2 𝑔(𝑚, 𝑛) for all positive integers 𝑚, 𝑛
(D) 𝑔(2𝑚, 2𝑛) = (𝑔(𝑚, 𝑛))2 for all positive integers 𝑚, 𝑛
Q.13 An engineer is required to visit a factory for exactly four days during the first 15 days of every month and it is mandatory that no two visits take place on consecutive days. Then the number of all possible ways in which such visits to the factory can be made by the engineer during 1-15 June 2021 is _____
Q.14 In a hotel, four rooms are available. Six persons are to be accommodated in these four rooms in such a way that each of these rooms contains at least one person and at most two persons. Then the number of all possible ways in which this can be done is _____
Q.15 Two fair dice, each with faces numbered 1, 2, 3, 4, 5 and 6, are rolled together and the sum of the numbers on the faces is observed. This process is repeated till the sum is either a prime number or a perfect square. Suppose the sum turns out to be a perfect square before it turns out to be a prime number. If 𝑝 is the probability that this perfect square is an odd number, then the value of 14𝑝 is _____
Q.16 Let the function 𝑓: [0, 1] → ℝ be defined by
𝑓(𝑥) = 4𝑥/ 4𝑥 + 2 .
Then the value of
𝑓 (40/ 1 ) + 𝑓 (40/ 2 ) + 𝑓 (40/ 3 ) + ⋯ + 𝑓 (39/ 40) − 𝑓 (1/ 2)
is _____
Q.17 Let 𝑓: ℝ → ℝ be a differentiable function such that its derivative 𝑓′ is continuous and 𝑓(𝜋) = −6. If 𝐹: [0, 𝜋] → ℝ is defined by 𝐹(𝑥) = 𝑥∫0𝑓(𝑡)𝑑𝑡, and if
then the value of 𝑓(0) is ____
Q.18 Let the function 𝑓: (0, 𝜋) → ℝ be defined by
𝑓(𝜃) = (sin 𝜃 + cos 𝜃)2 + (sin 𝜃 − cos 𝜃)4 .
Suppose the function 𝑓 has a local minimum at 𝜃 precisely when 𝜃 ∈ {𝜆1𝜋, … , 𝜆𝑟𝜋}, where 0 < 𝜆1 < ⋯ < 𝜆𝑟 < 1. Then the value of 𝜆1 + ⋯ + 𝜆𝑟 is _____